Capítulo 1 Espacio Métrico 1
1.1 Definición y propiedades básicas del espacio métrico 1
1.1.1 Definición de espacio métrico 1
1.1.2 Completitud 5
1.2 Conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos 15
1.3 Teorema de Baire de 1.ª categoría y 2.ª categoría 17
1.4 Espacios métricos separables 20
1.5 Compacidad y Compacidad 22
1.6 Teorema de Arzela-Ascoli 25
1.7 Principio de imagen de compresión de Banach 29
Ejercicio 1 35
Capítulo 2 Espacio de Banach 41
2.1 Definición y ejemplos importantes de espacio de Banach 41
2.1.1 Espacio Lineal 41
2.1.2 Seminorma y norma 43
2.1.3 Espacios Lineales Normados y Espacios de Banach 46
2.1.4 Espacio lineal normado de dimensión finita y lema de Riesz 48
2.2 Operadores Lineales Acotados y Funcionales Lineales Acotados 51
2.3 Teorema de la Aplicación Abierta 59
2.4 Operadores Inversos de Operadores Lineales Acotados 62
2.5 Teorema de la Imagen Cerrada y Teorema de la Resonancia 68
2.6 Teorema de Hahn-Banach 73
2.7 Aplicación del Teorema de Hahn-Banach 80
2.7.1 Forma Geométrica del Teorema de Hahn-Banach 80
2.7.2 Teorema de Separación de Conjuntos Convexos 82
2.7.3 Problemas de Medición 83
2.7.4 Buen problema de aproximación 86
2.7.5 Elementos bien aproximados en conjuntos convexos 87
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Este libro es un libro de texto de análisis funcional escrito por el autor basándose en sus casi diez años de experiencia docente en la enseñanza de cursos de análisis funcional a estudiantes de pregrado, posgrado y maestría y doctorado en diversas carreras de ingeniería en la Universidad de Ciencia y Tecnología Electrónica de China. Este libro introduce el conocimiento del análisis funcional desde los conceptos más básicos, y utiliza ejemplos comunes "triviales" para ayudar a los lectores a comprender mejor el concepto de análisis funcional. El contenido cubre los principios básicos del análisis funcional y sus ejemplos de aplicación en los campos de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, métodos de cálculo numérico y análisis de optimización. El libro tiene nueve capítulos, incluyendo espacio métrico, espacio de Banach, espacio de Hilbert, teoría del espacio dual, operadores compactos y operadores de Fredholm, teoría espectral de operadores lineales acotados, operadores no acotados en espacio de Hilbert, funciones generalizadas y espacio de Sobolev, e interpolación de espacio Lp.
Este libro puede usarse como libro de texto de análisis funcional para estudiantes de pregrado y posgrado que se especializan en matemáticas en colegios y universidades, así como para estudiantes de posgrado en carreras de ciencias e ingeniería con altos requisitos de matemáticas. También es adecuado para investigadores en otros campos relacionados.
