Capítulo 1 Espaço Métrico 1
1.1 Definição e propriedades básicas do espaço métrico 1
1.1.1 Definição de espaço métrico 1
1.1.2 Completude 5
1.2 Conjuntos abertos e fechados em espaços métricos 15
1.3 Teorema de Gang e Baire Gang 17
1.4 Espaços métricos separáveis 20
1.5 Compacidade e Compactação 22
1.6 Teorema de Arzela-Ascoli 25
1.7 Princípio de compressão de imagem de Banach 29
Exercício 1 35
Capítulo 2 Espaço de Banach 41
2.1 Definição e exemplos importantes do espaço de Banach 41
2.1.1 Espaço Linear 41
2.1.2 Semi-norma e norma 43
2.1.3 Espaços Lineares Normados e Espaços de Banach 46
2.1.4 Espaço linear normado de dimensão finita e lema de Riesz 48
2.2 Operadores Lineares Limitados e Funcionais Lineares Limitados 51
2.3 Teorema de Mapeamento Aberto 59
2.4 Operadores inversos de operadores lineares limitados 62
2.5 Teorema da Imagem Fechada e Teorema da Ressonância 68
2.6 Teorema de Hahn-Banach 73
2.7 Aplicação do Teorema de Hahn-Banach 80
2.7.1 Forma geométrica do teorema de Hahn-Banach 80
2.7.2 Teorema de Separação de Conjuntos Convexos 82
2.7.3 Problemas de Medição 83
2.7.4 Problema de boa aproximação 86
2.7.5 Elementos bem aproximados em conjuntos convexos 87
……
Este livro é um livro-texto sobre análise funcional escrito pelo autor com base em seus quase dez anos de experiência docente em cursos de análise funcional para alunos de graduação, pós-graduação, mestrado e doutorado em diversas áreas de engenharia na Universidade de Ciência e Tecnologia Eletrônica da China. Este livro introduz o conhecimento da análise funcional a partir dos conceitos mais básicos e utiliza exemplos comuns e triviais para ajudar os leitores a compreender melhor o conceito de análise funcional. O conteúdo abrange os princípios básicos da análise funcional e seus exemplos de aplicação nas áreas de teoria de equações diferenciais parciais, métodos de cálculo numérico e análise de otimização. O livro tem nove capítulos, incluindo espaço métrico, espaço de Banach, espaço de Hilbert, teoria do espaço dual, operadores compactos e operadores de Fredholm, teoria espectral de operadores lineares limitados, operadores ilimitados no espaço de Hilbert, funções generalizadas e espaço de Sobolev, e interpolação no espaço Lp.
Este livro pode ser usado como livro-texto de análise funcional para alunos de graduação e pós-graduação em matemática em faculdades e universidades, bem como para alunos de pós-graduação em ciências e engenharia com altos requisitos em matemática. Também é adequado para pesquisadores em outras áreas relacionadas.
